Климонтов начал карьеру в юношеском возрасте за вторую команду "Трактора". В сезоне-2008/09 защитник дебютировал в КХЛ. В сезонах-2011/12 и 2012/13 "Трактор" завоевал бронзовые и серебряные медали КХЛ, а сам Климонтов провел в каждом из чемпионатов по восемь матчей. В чемпионате-2014/15 защитник впервые покинул Челябинск и перешел в "Витязь", но в следующем году вернулся в "Трактор". В сезоне-2017/18 Климонтов в составе "Трактора" завоевал бронзовые медали КХЛ.
В прошедшем сезоне защитник выступал за "Барыс" и "Сибирь". В общей сложности Климонтов провел в КХЛ 274 матча и набрал 38 (8+30) очков.
Все самое актуальное о спорте в вашем телефоне - подписывайтесь на наш Instagram!