Карьеру Бауэр начинал в "Ингольштадте", с которым в 2015 году дебютировал в бундеслиге. В чемпионате Германии он также выступал за "Вердер" и "Нюрнберг", за который в прошедшем сезоне провел 22 матча.
Контракт Бауэра с "Вердером" был рассчитан до июня 2020 года. С "Арсеналом" футболист подписал долгосрочный контракт, но срок соглашения и сумма трансфера не уточняются. При этом Transfermarkt оценивает стоимость игрока в два миллиона евро.
За молодежную сборную Германии Бауэр играл на чемпионате мира-2015, а с олимпийской выиграл "серебро" Игр-2016.
В июле 2017 года Бауэром интересовался московский "Спартак", а Российский футбольный союз (РФС) рассматривал возможность его натурализации для сборной. Тогда футболист заявил, что отклонил такой вариант, потому что вырос в Германии.
Амплуа Бауэра - правый защитник, но при необходимости он может сыграть на левом фланге обороны или на позиции опорного хавбека.
Все самое актуальное о спорте в вашем телефоне - подписывайтесь на наш Instagram!